実数 $a$ に対し、$xy$ 平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。 (1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。 (2) $a$ が $-1 \le a \le 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対し、$xy$ 平面上の放物線 $C: y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$ を考える。

(1) $a$ がすべての実数を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

(2) $a$ が $-1 \le a \le 1$ の範囲を動くとき、$C$ が通過する領域を求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C$ の方程式を $a$ について整理する。

$y = (x-a)^2 - 2a^2 + 1$

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 2a^2 + 1$

$y = x^2 - 2ax - a^2 + 1$

$a^2 + 2xa + y - x^2 - 1 = 0$

$a$ が実数である条件から、この $a$ の二次方程式が実数解を持つ必要がある。

判別式 $D \ge 0$ である。

$D/4 = x^2 - (y - x^2 - 1) \ge 0$

$x^2 - y + x^2 + 1 \ge 0$

$2x^2 - y + 1 \ge 0$

$y \le 2x^2 + 1$

したがって、$C$ が通過する領域は、$y \le 2x^2 + 1$ となる。

図示: $y = 2x^2 + 1$ のグラフは、下に凸の放物線で、頂点は $(0, 1)$。この放物線の下側の領域が求める領域。

(2)

$a$ が $-1 \le a \le 1$ の範囲を動くときを考える。

$f(a) = a^2 + 2xa + y - x^2 - 1 = 0$

この $a$ の二次方程式が $-1 \le a \le 1$ の範囲に少なくとも一つの実数解を持つ条件を求める。

$f(-1) = 1 - 2x + y - x^2 - 1 = y - x^2 - 2x \ge 0 \implies y \ge x^2 + 2x$

$f(1) = 1 + 2x + y - x^2 - 1 = y - x^2 + 2x \ge 0 \implies y \ge x^2 - 2x$

軸は $a = -x$ なので、$-1 \le -x \le 1 \implies -1 \le x \le 1$の範囲を考える

$y \le 2x^2 + 1$

$x<-1$ の範囲では、$f(-1)>0$ が必要。

$x>1$ の範囲では、$f(1)>0$ が必要。

最終的に求める領域は、

$y \ge x^2 + 2x$ かつ $y \ge x^2 - 2x$ かつ $y \le 2x^2 + 1$を満たす領域。

図示: $y = x^2 + 2x$ と $y = x^2 - 2x$ と $y = 2x^2 + 1$ のグラフを描き、これらの不等式を満たす領域を求める。

3. 最終的な答え

(1) $y \le 2x^2 + 1$

(2) $y \ge x^2 + 2x$ かつ $y \ge x^2 - 2x$ かつ $y \le 2x^2 + 1$

図示は省略（グラフを描画する必要があるため）。