与えられた2つの2次関数を標準形に変形し、それぞれのグラフの軸の方程式と頂点の座標を求める。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ (2) $y = x^2 + x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数を標準形に変形し、それぞれのグラフの軸の方程式と頂点の座標を求める。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$

(2) $y = x^2 + x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ の場合

* $x^2$ の係数でくくる:

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

* 括弧の中を平方完成する。$x$ の係数の半分である1の2乗を足して引く:

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

* 平方完成した部分をまとめる:

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 1$

* 括弧を外して整理する:

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 3$

* 標準形: $y = -2(x + 1)^2 + 3$

* 軸の方程式: $x = -1$

* 頂点の座標: $(-1, 3)$

(2) $y = x^2 + x - 1$ の場合

* 平方完成をする。$x$ の係数の半分である $1/2$ の2乗を足して引く:

$y = x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 1$

* 平方完成した部分をまとめる:

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1$

* 定数項を整理する:

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

* 標準形: $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

* 軸の方程式: $x = -\frac{1}{2}$

* 頂点の座標: $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$

3. 最終的な答え

(1)

* 標準形: $y = -2(x + 1)^2 + 3$

* 軸の方程式: $x = -1$

* 頂点の座標: $(-1, 3)$

(2)

* 標準形: $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

* 軸の方程式: $x = -\frac{1}{2}$

* 頂点の座標: $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$