$\log_2{\frac{1}{3}}$, $2$, $\log_2{7}$ を値の小さい順に並べる問題です。

代数学対数大小比較不等式
2025/7/31

1. 問題の内容

log213\log_2{\frac{1}{3}}, 22, log27\log_2{7} を値の小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、log213\log_2{\frac{1}{3}} の値を評価します。13\frac{1}{3} は1より小さいので、log213\log_2{\frac{1}{3}} は負の値になります。具体的には、13\frac{1}{3}12\frac{1}{2}より小さいので、log213<log212=1\log_2{\frac{1}{3}} < \log_2{\frac{1}{2}} = -1 です。
次に、22log2\log_2 の形で表します。2=log222=log242 = \log_2{2^2} = \log_2{4} となります。
log213\log_2{\frac{1}{3}}, log24\log_2{4}, log27\log_2{7} を比較します。log2x\log_2{x}xx が増加すると増加する関数(単調増加)なので、13<4<7\frac{1}{3} < 4 < 7 より、log213<log24<log27\log_2{\frac{1}{3}} < \log_2{4} < \log_2{7} が成り立ちます。
したがって、log213<2<log27\log_2{\frac{1}{3}} < 2 < \log_2{7} となります。

3. 最終的な答え

log213\log_2{\frac{1}{3}}, 22, log27\log_2{7}

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