$a$を定数とする$x$の連立不等式 $ \begin{cases} 7x-5 > 13-2x & \cdots ① \\ x+a > 3x+5 & \cdots ② \end{cases} $ を満たす整数$x$がちょうど5個存在するとき、定数$a$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする$x$の連立不等式

$$

\begin{cases}

7x-5 > 13-2x & \cdots ① \\

x+a > 3x+5 & \cdots ②

\end{cases}

$$

を満たす整数$x$がちょうど5個存在するとき、定数$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

①について

$7x-5 > 13-2x$

$9x > 18$

$x > 2$

②について

$x+a > 3x+5$

$-2x > 5-a$

$2x < a-5$

$x < \frac{a-5}{2}$

連立不等式を満たす$x$の範囲は、

$2 < x < \frac{a-5}{2}$

これを満たす整数$x$がちょうど5個存在するから、整数$x$は3, 4, 5, 6, 7である。

したがって、$7 < \frac{a-5}{2} \leq 8$でなければならない。

$7 < \frac{a-5}{2} \leq 8$

$14 < a-5 \leq 16$

$19 < a \leq 21$

3. 最終的な答え

$19 < a \leq 21$