次の連立1次方程式の解空間 $V \subset \mathbb{R}^5$ の次元と1組の基底を求める。 $x_1 - 2x_2 - x_3 + 2x_4 - 3x_5 = 0$ $x_1 - 2x_2 - 2x_3 + x_4 - 2x_5 = 0$ $2x_1 - 4x_2 - 7x_3 - x_4 - x_5 = 0$

1. 問題の内容

次の連立1次方程式の解空間 $V \subset \mathbb{R}^5$ の次元と1組の基底を求める。

$x_1 - 2x_2 - x_3 + 2x_4 - 3x_5 = 0$

$x_1 - 2x_2 - 2x_3 + x_4 - 2x_5 = 0$

$2x_1 - 4x_2 - 7x_3 - x_4 - x_5 = 0$

2. 解き方の手順

与えられた連立1次方程式を行列で表現し、簡約化する。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 & 2 & -3 \\

1 & -2 & -2 & 1 & -2 \\

2 & -4 & -7 & -1 & -1

\end{pmatrix}$

1行目を-1倍して2行目に足し、1行目を-2倍して3行目に足す。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 & 2 & -3 \\

0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & -5 & -5 & 5

\end{pmatrix}$

2行目を-5倍して3行目に足す。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 & 2 & -3 \\

0 & 0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を-1倍する。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 & 2 & -3 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

2行目を1倍して1行目に足す。

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

簡約化された行列から、$x_1 - 2x_2 + 3x_4 - 4x_5 = 0$ および $x_3 + x_4 - x_5 = 0$ が得られる。

したがって、$x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 4x_5$ および $x_3 = -x_4 + x_5$ である。

$x_2, x_4, x_5$を自由変数とすると、$x_2 = a, x_4 = b, x_5 = c$ （$a, b, c \in \mathbb{R}$）とおける。

このとき、解は以下のようになる。

$x_1 = 2a - 3b + 4c$

$x_2 = a$

$x_3 = -b + c$

$x_4 = b$

$x_5 = c$

これをベクトルで表現すると、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、解空間Vの基底は

$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

であり、次元は3である。

3. 最終的な答え

解空間の次元: 3

基底: $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$