関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

まず、$x = a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = a^2 + 2a - 1$

次に、$x = b$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(b) = b^2 + 2b - 1$

$y$ の増加量は $y(b) - y(a)$ なので、

$y(b) - y(a) = (b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1) = b^2 - a^2 + 2b - 2a$

$x$ の増加量は $b - a$ です。

平均変化率は、$\frac{b^2 - a^2 + 2b - 2a}{b - a}$ となります。

分子を因数分解すると、$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$、 $2b - 2a = 2(b - a)$ なので、

$\frac{(b - a)(b + a) + 2(b - a)}{b - a}$

$(b - a)$ で括ると、$\frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a}$

$b \neq a$ なので、$b - a$ で約分できます。

よって、平均変化率は $b + a + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a + b + 2$