すべての $k$ の値に対して、等式 $k^2x + 2(k-1)y + (2-k-k^2)z = 1$ が成り立つような $x, y, z$ の値を求める。

1. 問題の内容

すべての $k$ の値に対して、等式 $k^2x + 2(k-1)y + (2-k-k^2)z = 1$ が成り立つような $x, y, z$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式を $k$ について整理する。

$k^2x + 2(k-1)y + (2-k-k^2)z = 1$

$k^2x + 2ky - 2y + 2z - kz - k^2z = 1$

$k^2(x - z) + k(2y - z) + (-2y + 2z) = 1$

$k$ の恒等式であるためには、各次数の項の係数が一致する必要がある。

$k^2$ の係数は $x - z = 0$

$k$ の係数は $2y - z = 0$

定数項は $-2y + 2z = 1$

これらの方程式を解く。

$x = z$

$2y = z$

$-2y + 2z = 1$

$z = 2y$ を $-2y + 2z = 1$ に代入すると

$-2y + 2(2y) = 1$

$-2y + 4y = 1$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

$z = 2y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$x = z = 1$

3. 最終的な答え

$x = 1, y = \frac{1}{2}, z = 1$