袋Aには赤玉3個、白玉2個が入っており、袋Bには赤玉2個、白玉3個が入っている。 (1) 袋Aから1個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから1個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が赤玉である確率を求める。 (2) 袋Aから2個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから2個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉3個、白玉2個が入っており、袋Bには赤玉2個、白玉3個が入っている。

(1) 袋Aから1個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから1個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が赤玉である確率を求める。

(2) 袋Aから2個の玉を取り出して袋Bに入れ、よくかき混ぜて、袋Bから2個の玉を取り出すとき、袋Bから取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、袋Aから赤玉を取り出す場合と白玉を取り出す場合に分けて考える。

袋Aから赤玉を取り出す確率は $3/5$ であり、このとき袋Bには赤玉3個、白玉3個が入っている。このとき袋Bから赤玉を取り出す確率は $3/6 = 1/2$ である。

袋Aから白玉を取り出す確率は $2/5$ であり、このとき袋Bには赤玉2個、白玉4個が入っている。このとき袋Bから赤玉を取り出す確率は $2/6 = 1/3$ である。

したがって、袋Bから赤玉を取り出す確率は

$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{13}{30}$

となる。

(2)

袋Aから取り出す玉の組み合わせは以下の3通りである。

(i) 赤玉2個を取り出す場合

(ii) 赤玉1個と白玉1個を取り出す場合

(iii) 白玉2個を取り出す場合

(i) 赤玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$ であり、このとき袋Bには赤玉4個、白玉3個が入っている。このとき袋Bから2個とも赤玉を取り出す確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ である。

(ii) 赤玉1個と白玉1個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{{}_5C_2} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ であり、このとき袋Bには赤玉3個、白玉4個が入っている。このとき袋Bから2個とも赤玉を取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$ である。

(iii) 白玉2個を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$ であり、このとき袋Bには赤玉2個、白玉5個が入っている。このとき袋Bから2個とも赤玉を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_7C_2} = \frac{1}{21}$ である。

したがって、袋Bから2個とも赤玉を取り出す確率は

$\frac{3}{10} \times \frac{2}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{10} \times \frac{1}{21} = \frac{6}{70} + \frac{3}{35} + \frac{1}{210} = \frac{18}{210} + \frac{18}{210} + \frac{1}{210} = \frac{37}{210}$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{30}$

(2) $\frac{37}{210}$