白玉4個と黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布を求める問題です。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とし、$X$ の確率分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ は、2回取り出す操作で白玉が出る回数なので、$X$ のとりうる値は0, 1, 2です。それぞれの確率を計算します。

* $X=0$ のとき（2回とも黒玉が出るとき）

1回目に黒玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

1回目に黒玉が出たとき、残りの玉は白玉4個、黒玉1個なので、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{1}{5}$ です。

よって、$P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

* $X=1$ のとき（1回だけ白玉が出るとき）

1回目に白玉が出て、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$ です。

1回目に黒玉が出て、2回目に白玉が出る確率は $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$ です。

よって、$P(X=1) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

* $X=2$ のとき（2回とも白玉が出るとき）

1回目に白玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

1回目に白玉が出たとき、残りの玉は白玉3個、黒玉2個なので、2回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{5}$ です。

よって、$P(X=2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

確率の和を確認すると、$\frac{1}{15} + \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{15}{15} = 1$ となり、確率分布として正しいことが確認できます。

3. 最終的な答え

$X$ | 0 | 1 | 2 | 計

------- | -------- | -------- | -------- | --------

$P$ | 1/15 | 8/15 | 6/15 | 1