(7) 2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 11$ のグラフをx軸に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式と、原点に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式を求める。 (8) 軸が直線 $x = 2$ で、2点 $(2, 3)$, $(6, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数の式を求める。

1. 問題の内容

(7) 2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 11$ のグラフをx軸に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式と、原点に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式を求める。

(8) 軸が直線 $x = 2$ で、2点 $(2, 3)$, $(6, -5)$ を通る放物線をグラフとする2次関数の式を求める。

2. 解き方の手順

(7)

x軸に関して対称移動する場合、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = 2x^2 - 8x + 11$

$y = -2x^2 + 8x - 11$

原点に関して対称移動する場合、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = 2(-x)^2 - 8(-x) + 11$

$-y = 2x^2 + 8x + 11$

$y = -2x^2 - 8x - 11$

(8)

軸が $x = 2$ であるから、2次関数は $y = a(x - 2)^2 + q$ と表せる。

点 $(2, 3)$ を通るので、

$3 = a(2 - 2)^2 + q$

$3 = q$

よって、$y = a(x - 2)^2 + 3$

点 $(6, -5)$ を通るので、

$-5 = a(6 - 2)^2 + 3$

$-5 = 16a + 3$

$16a = -8$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 2 + 3 = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$

3. 最終的な答え

(7) x軸に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式は $y = -2x^2 + 8x - 11$

原点に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数の式は $y = -2x^2 - 8x - 11$

(8) 2次関数の式は $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$