2直線 $x=1$、$y=2$ を漸近線とし、点 $(2,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=1$、$y=2$ を漸近線とし、点 $(2,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

漸近線が $x=1$、$y=2$であることから、関数は

$y = \frac{a(x-1) + 2(cx+d)}{cx+d} = \frac{(a+2c)x + (2d-a)}{cx+d}$

と表せる。元の式と係数を比較して、$a+2c = a$, $2d-a=b$ がわかる。

$x=1$ が漸近線であることから、$cx+d=0$ となる $x$ が $x=1$ である。

したがって、$c(1)+d=0$、すなわち $c=-d$ である。

$y=2$ が漸近線であることから、$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} = 2$ となる。

したがって、$a = 2c$ である。

$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ は、漸近線が $x=1$, $y=2$ であることから、

$y = \frac{k}{x-1} + 2$ と表せる。ここで $k$ は定数である。

このグラフが点 $(2,1)$ を通るので、

$1 = \frac{k}{2-1} + 2$

$1 = k + 2$

$k = -1$

したがって、$y = \frac{-1}{x-1} + 2 = \frac{-1+2(x-1)}{x-1} = \frac{-1+2x-2}{x-1} = \frac{2x-3}{x-1}$

よって、$a=2, b=-3, c=1, d=-1$ である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-3}{x-1}$