不等式 $\frac{2x-1}{x-1} > x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2x-1}{x-1} > x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺から $x+1$ を引きます。

$\frac{2x-1}{x-1} - (x+1) > 0$

次に、左辺を通分します。

$\frac{2x-1 - (x+1)(x-1)}{x-1} > 0$

$\frac{2x-1 - (x^2-1)}{x-1} > 0$

$\frac{2x-1 - x^2 + 1}{x-1} > 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} > 0$

分子を $-x$ でくくります。

$\frac{-x(x-2)}{x-1} > 0$

両辺に $-1$ をかけます (不等号の向きが変わります)。

$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$

$x=0, 1, 2$ を境界として数直線を考えます。

- $x < 0$ のとき、$x<0$, $x-2 < 0$, $x-1 < 0$ であるため、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$ となります。

- $0 < x < 1$ のとき、$x > 0$, $x-2 < 0$, $x-1 < 0$ であるため、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となります。

- $1 < x < 2$ のとき、$x > 0$, $x-2 < 0$, $x-1 > 0$ であるため、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$ となります。

- $x > 2$ のとき、$x > 0$, $x-2 > 0$, $x-1 > 0$ であるため、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となります。

また、$x \neq 1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$x < 0$ または $1 < x < 2$