不等式 $x - 3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $x - 3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$$x - 3 - \frac{2x}{x-2} \ge 0$$

次に、左辺を通分します。

$$\frac{(x-3)(x-2) - 2x}{x-2} \ge 0$$

$$\frac{x^2 - 5x + 6 - 2x}{x-2} \ge 0$$

$$\frac{x^2 - 7x + 6}{x-2} \ge 0$$

分子を因数分解します。

$$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} \ge 0$$

不等式の解を求めるために、数直線を使い、それぞれの因数が正または負になる範囲を調べます。$x = 1, 2, 6$ が境界点になります。

- $x < 1$ のとき、$(x-1)<0$, $(x-6)<0$, $(x-2)<0$ なので、$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} < 0$ となります。

- $1 < x < 2$ のとき、$(x-1)>0$, $(x-6)<0$, $(x-2)<0$ なので、$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} > 0$ となります。

- $2 < x < 6$ のとき、$(x-1)>0$, $(x-6)<0$, $(x-2)>0$ なので、$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} < 0$ となります。

- $x > 6$ のとき、$(x-1)>0$, $(x-6)>0$, $(x-2)>0$ なので、$\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} > 0$ となります。

$x=1$ と $x=6$ のときは $\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} = 0$ となるので、不等式を満たします。

$x=2$ のときは分母が $0$ になるので、定義されません。

3. 最終的な答え

したがって、不等式の解は $1 \le x < 2$ または $x \ge 6$ です。

$x$ の範囲を記述すると

$1 \leq x < 2, x \geq 6$