関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 - x$ の極大値と極小値の和が6であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 - x$ の極大値と極小値の和が6であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、極値を与える $x$ の値を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を $\alpha, \beta$ とすると、これらが極値を与える候補となる。

解の公式より

$x = \frac{-6a \pm \sqrt{(6a)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-6a \pm \sqrt{36a^2 + 12}}{6} = \frac{-3a \pm \sqrt{9a^2 + 3}}{3} = -a \pm \frac{\sqrt{9a^2 + 3}}{3}$

$\alpha = -a - \frac{\sqrt{9a^2 + 3}}{3}$, $\beta = -a + \frac{\sqrt{9a^2 + 3}}{3}$ とおく。

(2) 極大値と極小値の和が6であるという条件から、$a$ の値を求める。

極大値と極小値の和は $f(\alpha) + f(\beta) = 6$ である。

$f(\alpha) = \alpha^3 + 3a\alpha^2 - \alpha$

$f(\beta) = \beta^3 + 3a\beta^2 - \beta$

$f(\alpha) + f(\beta) = (\alpha^3 + \beta^3) + 3a(\alpha^2 + \beta^2) - (\alpha + \beta) = 6$

$\alpha + \beta = -2a$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 4a^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha\beta = (-a - \frac{\sqrt{9a^2 + 3}}{3})(-a + \frac{\sqrt{9a^2 + 3}}{3}) = a^2 - \frac{9a^2 + 3}{9} = a^2 - a^2 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

$\alpha^2 + \beta^2 = 4a^2 - 2(-\frac{1}{3}) = 4a^2 + \frac{2}{3}$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = (-2a)(4a^2 - 3(-\frac{1}{3})) = (-2a)(4a^2 + 1) = -8a^3 - 2a$

よって、

$f(\alpha) + f(\beta) = -8a^3 - 2a + 3a(4a^2 + \frac{2}{3}) - (-2a) = -8a^3 - 2a + 12a^3 + 2a + 2a = 4a^3 + 2a = 6$

$4a^3 + 2a - 6 = 0$

$2a^3 + a - 3 = 0$

$(a - 1)(2a^2 + 2a + 3) = 0$

$a = 1$ または $2a^2 + 2a + 3 = 0$

$2a^2 + 2a + 3 = 2(a^2 + a) + 3 = 2(a + \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 3 = 2(a + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2} > 0$

したがって、$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$