二次方程式 $x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (4) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

二次方程式の解と係数の関係を利用します。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題では、$a = 1, b = 3, c = 4$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

$\alpha \beta = \frac{4}{1} = 4$

(1) $\alpha + \beta$ の値は、解と係数の関係から $\alpha + \beta = -3$ となります。

(2) $\alpha \beta$ の値は、解と係数の関係から $\alpha \beta = 4$ となります。

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ は、$\alpha \beta (\alpha + \beta)$ と変形できます。(1)と(2)の結果を使うと、

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = (4)(-3) = -12$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$ は、$(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ と変形できます。(1)と(2)の結果を使うと、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = (-3)^2 - 2(4) = 9 - 8 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -3$

(2) $\alpha \beta = 4$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = -12$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$