不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $2^n < 1000$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} 2^n < \log_{10} 1000$

対数の性質より、$n \log_{10} 2 < \log_{10} 10^3$ となります。

$n \log_{10} 2 < 3$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、

$0.3010 n < 3$

$n < \frac{3}{0.3010}$

$n < \frac{3000}{301}$

ここで、$\frac{3000}{301}$ のおおよその値を計算します。

$n < 9.9667...$

不等式を満たす最大の整数 $n$ は 9 です。

3. 最終的な答え

9