二次関数 $y = ax^2 + 3x + a$ が常に負の値を取るような $a$ の範囲を求める。

## (9) 二次関数に関する問題

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + 3x + a$ が常に負の値を取るような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

二次関数が常に負の値を取るためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $a < 0$ (上に凸なグラフ)

* 判別式 $D < 0$ (グラフがx軸と交わらない)

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。今回の問題では、$a = a$, $b = 3$, $c = a$ なので、

$D = 3^2 - 4 \cdot a \cdot a = 9 - 4a^2$

$D < 0$ を満たすためには、

$9 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 9$

$a^2 > \frac{9}{4}$

この不等式を解くと、

$a < -\frac{3}{2}$ または $a > \frac{3}{2}$

ここで、$a < 0$ という条件も考慮する必要があるので、$a < -\frac{3}{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{3}{2}$