(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解する。 (2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 行列式

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

を因数分解する。

(2) 方程式

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、行列式の性質を用いて因数分解を簡単にする。

第3列に第1列を足す。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c+a \\ b & b^2 & c+a+b \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix}$

第3列から $(a+b+c)$ をくくり出す。

$(a+b+c)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

第1行から第2行を引く。

$(a+b+c)\begin{vmatrix} a-b & a^2-b^2 & 0 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

第2行から第3行を引く。

$(a+b+c)\begin{vmatrix} a-b & a^2-b^2 & 0 \\ b-c & b^2-c^2 & 0 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

$(a+b+c)\begin{vmatrix} a-b & (a-b)(a+b) & 0 \\ b-c & (b-c)(b+c) & 0 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

第1列、第2列で括りだす。

$(a+b+c)(a-b)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & a+b & 0 \\ 1 & b+c & 0 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

3行目の1に着目して展開。

$(a+b+c)(a-b)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & a+b \\ 1 & b+c \end{vmatrix}$

$(a+b+c)(a-b)(b-c)(b+c-a-b)$

$(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

$-(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$

(2)

与えられた行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

1行目に2行目、3行目、4行目を加える。

$\begin{vmatrix} x+1 & x+1 & x+1 & x+1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

2行目から1行目を引く。

3行目から1行目を引く。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

1列目で展開。

$(x+1)\begin{vmatrix} x-2 & -1 & 0 \\ -1 & x-2 & 0 \\ 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

3列目で展開。

$(x+1)(x-1)\begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix} = 0$

$(x+1)(x-1)((x-2)^2-1) = 0$

$(x+1)(x-1)(x^2-4x+4-1) = 0$

$(x+1)(x-1)(x^2-4x+3) = 0$

$(x+1)(x-1)(x-1)(x-3) = 0$

$(x+1)(x-1)^2(x-3) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$

(2) $x = -1, 1, 3$