$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるということは、$5.4^n$ が $100$ 以上 $1000$ 未満であるということです。つまり、$100 \le 5.4^n < 1000$ を満たす $n$ を求めます。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} 5.4^n < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 5.4 < 3$

ここで、$\log_{10} 5.4$ を計算します。

$\log_{10} 5.4 = \log_{10} \frac{54}{10} = \log_{10} (2 \cdot 3^3) - \log_{10} 10 = \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 - 1$

$\log_{10} 5.4 = 0.3010 + 3(0.4771) - 1 = 0.3010 + 1.4313 - 1 = 0.7323$

したがって、$2 \le 0.7323 n < 3$ となります。

各辺を $0.7323$ で割ると、

$\frac{2}{0.7323} \le n < \frac{3}{0.7323}$

$2.731 \le n < 4.097$

$n$ は整数なので、$n = 3, 4$ となります。

したがって、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

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