2次方程式 $x^2 - 6x - 3k = 0$ が与えられています。この方程式が、(1)異なる2つの実数解、(2)重解、(3)異なる2つの虚数解を持つような定数 $k$ の値または値の範囲をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 6x - 3k = 0$ が与えられています。この方程式が、(1)異なる2つの実数解、(2)重解、(3)異なる2つの虚数解を持つような定数 $k$ の値または値の範囲をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

- $D = 0$ のとき、重解を持つ。

- $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

今回の2次方程式 $x^2 - 6x - 3k = 0$ において、$a = 1$, $b = -6$, $c = -3k$ です。

したがって、判別式 $D$ は以下のようになります。

$D = (-6)^2 - 4(1)(-3k) = 36 + 12k$

(1) 異なる2つの実数解を持つ場合

$D > 0$ である必要があるので、

$36 + 12k > 0$

$12k > -36$

$k > -3$

(2) 重解を持つ場合

$D = 0$ である必要があるので、

$36 + 12k = 0$

$12k = -36$

$k = -3$

(3) 異なる2つの虚数解を持つ場合

$D < 0$ である必要があるので、

$36 + 12k < 0$

$12k < -36$

$k < -3$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解を持つとき: $k > -3$

(2) 重解を持つとき: $k = -3$

(3) 異なる2つの虚数解を持つとき: $k < -3$