$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$3.75 = \frac{15}{4}$ であることを利用する。$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 3.75^n < 1000$ ということである。この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} 3.75^n < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 3.75 < 3$

ここで、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} \frac{15}{4} = \log_{10} 15 - \log_{10} 4 = \log_{10} (3 \times 5) - \log_{10} 2^2 = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2\log_{10} 2$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$

より、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} 3 + (1 - \log_{10} 2) - 2\log_{10} 2 = \log_{10} 3 + 1 - 3\log_{10} 2$

与えられた値から、

$\log_{10} 3.75 = 0.4771 + 1 - 3(0.3010) = 0.4771 + 1 - 0.9030 = 0.5741$

したがって、

$2 \le 0.5741n < 3$

$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$

$3.48 \le n < 5.22$

これを満たす整数 $n$ は $4, 5$ である。よって、整数 $n$ の個数は2個である。

3. 最終的な答え

2