(1) の行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解しなさい。 (2) の方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解きなさい。

1. 問題の内容

(1) の行列式

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

を因数分解しなさい。

(2) の方程式

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

を解きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 行列式を計算し、因数分解します。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = a(b^2(a+b) - c^2(c+a)) - a^2(b(a+b) - c(c+a)) + (b+c)(bc^2 - cb^2)$

$= a(ab^2 + b^3 - ac^2 - c^3) - a^2(ab + b^2 - c^2 - ac) + (b+c)(bc^2 - cb^2)$

$= a^2b^2 + ab^3 - a^2c^2 - ac^3 - a^3b - a^2b^2 + a^2c^2 + a^3c + b^2c^2 - b^3c + bc^3 - b^2c^2$

$= ab^3 - ac^3 - a^3b + a^3c - b^3c + bc^3$

$= ab^3 - a^3b - ac^3 + a^3c - b^3c + bc^3$

$= ab(b^2 - a^2) - ac(c^2 - a^2) - bc(b^2 - c^2)$

$= ab(b-a)(b+a) - ac(c-a)(c+a) - bc(b-c)(b+c)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

または、

第3列を第1列と第2列で表す。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c-a \\ b & b^2 & a+b+c-b \\ c & c^2 & a+b+c-c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & a^2 & a \\ b & b^2 & b \\ c & c^2 & c \end{vmatrix}$

$= (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix} - 0 = (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

$= -(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = -(a+b+c) (b-a)(c-a)(c-b) = (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) 行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

$x-1$で展開すると

$(x-1) \begin{vmatrix} x-1 & 0 & 1 \\ 0 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & x-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x-1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

$(x-1)((x-1)^3 - (x-1) - (x-1)) - ( (x-1)(x-1) - 1 - (x-1) ) + ( (-(x-1)) - (x-1)(x-1) ) = 0$

$(x-1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 2x + 2) - ( x^2 -2x + 1 - 1 -x + 1) + ( -x + 1 - x^2 + 2x - 1 ) = 0$

$(x-1)(x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1) + (-x^2 + x) = 0$

$x^4 - 3x^3 + x^2 + x - x^3 + 3x^2 - x - 1 - x^2 + 3x - 1 - x^2 + x = 0$

$x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x - 2 = 0$

行に注目すると、

第1行 + 第2行 + 第3行 + 第4行 = $x+2, x+2, x+2, x+2$.

したがって、行列式に ($x+2$) が含まれる。

$x=-2$を代入すると、

$\begin{vmatrix} -3 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0$

各行に1を加えると、

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x+2 & x+2 & x+2 & x+2 \end{vmatrix}$

行列式にx+2が含まれそうです。

試しに、

第2列から第1列を引く

第3列から第1列を引く

第4列から第1列を引く

$\begin{vmatrix} x-1 & 2-x & 2-x & 1-x \\ 1 & x-2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

(2) $x=0$