8人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。 (1) 4人、3人、1人の3グループに分ける。 (2) 3人、3人、2人の3グループに分ける。 (3) 2人ずつ4グループに分ける。

1. 問題の内容

8人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。

(1) 4人、3人、1人の3グループに分ける。

(2) 3人、3人、2人の3グループに分ける。

(3) 2人ずつ4グループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人に分ける場合

まず8人から4人を選び、次に残りの4人から3人を選び、最後に残った1人を選ぶ。

したがって、組み合わせの数は

$_8C_4 \times _4C_3 \times _1C_1 = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4 \times 1 = 70 \times 4 = 280$

(2) 3人、3人、2人に分ける場合

まず8人から3人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残った2人を選ぶ。ただし、3人のグループが2つあるので、グループの区別をなくすために2!で割る必要がある。

したがって、組み合わせの数は

$(_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2) / 2! = (\frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!}) / 2 = (\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1) / 2 = (56 \times 10) / 2 = 560 / 2 = 280$

(3) 2人ずつ4組に分ける場合

まず8人から2人を選び、次に残りの6人から2人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残った2人を選ぶ。ただし、2人のグループが4つあるので、グループの区別をなくすために4!で割る必要がある。

したがって、組み合わせの数は

$(_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2) / 4! = (\frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}) / (4 \times 3 \times 2 \times 1) = (\frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1) / 24 = (28 \times 15 \times 6) / 24 = 2520 / 24 = 105$

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 280通り

(3) 105通り