不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2^n < 1000$ の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(2^n) < \log_{10}1000$

対数の性質より、

$n \log_{10}2 < \log_{10}10^3$

$n \log_{10}2 < 3$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入すると、

$0.3010n < 3$

両辺を $0.3010$ で割ると、

$n < \frac{3}{0.3010}$

$n < \frac{3000}{301} \approx 9.9667$

$n$ は整数であるから、$2^n < 1000$ を満たす最大の整数 $n$ は $9$ である。

3. 最終的な答え

9