$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 3.75^n < 1000$ であることを意味します。常用対数をとると、

$$\log_{10} 100 \le \log_{10} 3.75^n < \log_{10} 1000$$

$$2 \le n \log_{10} 3.75 < 3$$

$3.75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4} = \frac{3 \times 5}{2^2}$ なので、

$$\log_{10} 3.75 = \log_{10} \frac{3 \times 5}{2^2} = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2 \log_{10} 2$$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$$\log_{10} 3.75 = 0.4771 + 0.6990 - 2(0.3010) = 1.1761 - 0.6020 = 0.5741$$

したがって、

$$2 \le n (0.5741) < 3$$

$$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$$

$$3.48 \le n < 5.22$$

$n$ は整数なので、$n = 4, 5$。

よって、$n$ の個数は $2$ 個。

3. 最終的な答え

2 個