3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を定義します。

次に、この関数の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ が極値を取る候補点です。

次に、$f(-\sqrt{2})$ と $f(\sqrt{2})$ を計算します。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$

$f(-\infty) < 0$, $f(-\sqrt{2}) > 0$, $f(\sqrt{2}) < 0$, $f(\infty) > 0$

極大値が正で極小値が負なので、方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ は3つの実数解を持ちます。

また、$f(0)=4 >0$。 $f(1) = 1 - 6 + 4 = -1 <0$, $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$

そのため、$x=2$は解の一つ。

$x^3 - 6x + 4 = (x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

実数解は、$2, -1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3}$ の３つ。

3. 最終的な答え

3個