不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} \geq -x+5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である条件から、$x+1 \geq 0$ なので、$x \geq -1$ が必要です。

次に、不等式の両辺を2乗することを考えます。しかし、$-x+5$ の符号によって場合分けが必要です。

(1) $-x+5 < 0$ のとき、つまり $x > 5$ のとき、$\sqrt{x+1}$ は非負なので、不等式は常に成り立ちます。このとき、$x \geq -1$ と $x > 5$ の共通範囲は、$x > 5$ です。

(2) $-x+5 \geq 0$ のとき、つまり $x \leq 5$ のとき、両辺を2乗して、

$x+1 \geq (-x+5)^2$

$x+1 \geq x^2 - 10x + 25$

$0 \geq x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 \leq 0$

$(x-3)(x-8) \leq 0$

$3 \leq x \leq 8$

このとき、$x \geq -1$ かつ $x \leq 5$ の条件と、$3 \leq x \leq 8$ の共通範囲は、$3 \leq x \leq 5$ です。

(1)と(2)を合わせると、$x > 5$ または $3 \leq x \leq 5$ となります。これは、$x \geq 3$ を意味します。

しかし、最初に根号内の条件から $x \geq -1$ が必要なので、$x \geq 3$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$x \geq 3$