不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} < -x+5$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があります。つまり、$x+1 \ge 0$ より $x \ge -1$ である必要があります。

次に、与えられた不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{x+1})^2 < (-x+5)^2$

$x+1 < x^2 -10x + 25$

$0 < x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $x^2 - 11x + 24 = 0$ の解を求めます。

$(x-3)(x-8) = 0$

よって、$x=3, 8$ です。

したがって、$x^2 - 11x + 24 > 0$ の解は、$x < 3$ または $x > 8$ です。

しかし、$x \ge -1$ である必要があるため、$-1 \le x < 3$ または $x > 8$ となります。

さらに、$-x+5 > 0$ の場合、$x < 5$ である必要があります。 これは、$\sqrt{x+1}$ が常に0以上の値をとるため、$-x+5$ が負の値をとると、不等式は成立しなくなるからです。

従って、xの範囲は $-1 \le x < 3$となります。

最終的に得られた範囲は、$-1 \le x < 3$です。

3. 最終的な答え

3 $-1\leq x<3$