$y = x^{\sin x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

$y = x^{\sin x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{\sin x}$ の両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\sin x})$

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使って微分します。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y = x^{\sin x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

したがって、$y' = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ となります。

3. 最終的な答え

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