問題は、以下の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

1. 問題の内容

問題は、以下の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

2. 解き方の手順

この和は、等比数列の和の公式を用いて計算できます。

$k=1$から$n$までの$5^{k-1}$の和は、初項が$5^{1-1} = 5^0 = 1$、公比が$5$の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は、以下の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

ここで、$S_n$は初項から第$n$項までの和、$a$は初項、$r$は公比です。

この問題の場合、$a = 1$、$r = 5$なので、以下のようになります。

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5-1}$

$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$