$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2k+1)^2$ を展開します。

$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1)$ となります。

シグマの性質より、

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の公式を代入すると、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 3]}{3}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) + 6n + 6 + 3]}{3}$

$= \frac{n[4n^2+6n+2 + 6n + 9]}{3}$

$= \frac{n(4n^2+12n+11)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2+12n+11)}{3}$