与えられた式 $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{2} \div \sqrt{2^3}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{2} \div \sqrt{2^3}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、各根号を指数で表現します。

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}$

$\sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

与えられた式は、以下のように書き換えられます。

$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} \div 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ と $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いて計算します。

$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}$

よって、

$2^{\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = 2^{\frac{1-3}{2}} = 2^{\frac{-2}{2}} = 2^{-1}$

最後に、 $2^{-1} = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$