$f(x) = e^{4x}$ のマクローリン展開が $\sum_{n=0}^{\infty} (\text{次})$ であるとき、括弧の中に当てはまるものを選択肢から選び出す問題です。

1. 問題の内容

$f(x) = e^{4x}$ のマクローリン展開が $\sum_{n=0}^{\infty} (\text{次})$ であるとき、括弧の中に当てはまるものを選択肢から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開の特別な場合です。 一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のように与えられます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階微分を $x=0$ で評価したものです。

$f(x) = e^{4x}$ のマクローリン展開を求めます。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = e^{4x}$

$f'(x) = 4e^{4x}$

$f''(x) = 4^2e^{4x}$

$f'''(x) = 4^3e^{4x}$

一般的に、$f^{(n)}(x) = 4^n e^{4x}$ となります。

次に、これらの導関数を $x=0$ で評価します。

$f(0) = e^{4(0)} = e^0 = 1$

$f'(0) = 4e^{4(0)} = 4e^0 = 4$

$f''(0) = 4^2e^{4(0)} = 4^2e^0 = 4^2$

$f'''(0) = 4^3e^{4(0)} = 4^3e^0 = 4^3$

一般的に、$f^{(n)}(0) = 4^n$ となります。

したがって、$e^{4x}$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} x^n$

3. 最終的な答え

$\frac{4^n}{n!} x^n$ 、選択肢の[4]が正解です。