与えられた数学の問題は、三角比に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。 * \[4] $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す問題。 * \[5] $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求め、さらに外接円の半径 $R$ を求める問題。 * \[6] $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = 2$ のとき、角 $A$ の大きさを求める問題。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、三角比に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。

* \[4] $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す問題。

* \[5] $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求め、さらに外接円の半径 $R$ を求める問題。

* \[6] $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = 2$ のとき、角 $A$ の大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

* \[4] $\sin(180^\circ - x) = \sin x$ の公式を利用します。

$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$

* \[5] まず、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることから、角 $C$ を求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

次に、正弦定理を用いて $CA$ の長さを求めます。

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

外接円の半径 $R$ は、正弦定理より、

$2R = \frac{AB}{\sin C}$

$2R = \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$

$R = 2\sqrt{2}$

* \[6] 余弦定理を用いて角 $A$ を求めます。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{1}{2}$

$A = 60^\circ$

3. 最終的な答え

* \[4] $\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$

* \[5] $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

* \[6] $A = 60^\circ$