底面が直角二等辺三角形で、高さが3cmの三角柱ABC-DEFがある。ただし、$AB = AC = 1cm$, $\angle CAB = 90^{\circ}$, $AD = 3cm$である。辺AD上に$AG = 1cm$となる点Gを、辺CF上に$CH = 2cm$となる点Hをとる。このとき、三角形GEHを含む平面で三角柱を切ってできる立体のうち、小さい方の体積を求める。

1. 問題の内容

底面が直角二等辺三角形で、高さが3cmの三角柱ABC-DEFがある。ただし、$AB = AC = 1cm$, $\angle CAB = 90^{\circ}$, $AD = 3cm$である。辺AD上に$AG = 1cm$となる点Gを、辺CF上に$CH = 2cm$となる点Hをとる。このとき、三角形GEHを含む平面で三角柱を切ってできる立体のうち、小さい方の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角柱ABC-DEFの体積を求めます。

底面積は、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

体積は、

$V = S \times AD = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$

次に、三角錐A-GEHの体積を求めます。

三角錐A-GEHは、底面を三角形AGEとすると、高さは、Cから三角形AGEへの垂線の長さとなり、CH=2cmとなります。

三角形AGEの面積は、

$S_{AGE} = \frac{1}{2} \times AG \times AE = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

ここでEはAからADに垂直におろした点となります。

もしくは、三角形GEHを底面と考えた場合はAからGEH平面への距離を高さと考えることができます。

今回は三角柱から大きい方の立体を引いて求めることを考えます。

大きい方の立体は、底面が三角形GEHで高さがBからGEH平面への距離として考えにくいので、三角柱から三角錐を引くのは難しいと考えられます。

なので、小さい方の立体を直接求めることを考えます。

小さい方の立体は、三角錐台のようになります。

具体的には、三角柱から、三角錐A-GEH, 三角錐B-FEG, 三角錐C-DEHを取り除けば良いですが、計算が複雑になることが予想されます。

そこで、GとHを通る平面で切断したときの小さい方の体積をVとすると、全体の体積から大きい方の体積を引けば良いので、全体の体積V全体の体積は(1/2)*3=3/2です。

小さい方の立体を三角錐台のように考えると、上底が三角形GEH, 下底が三角形DEFとなるような図形にはなりません。

ここでは、小さい方の立体を、三角錐A-GEH, 三角錐B-FEG, 三角錐C-DEHに分解して考えることを考えます。

その場合、これらの三角錐の体積の合計が、求める体積となります。

三角錐A-GEHの体積は

$V_{A-GEH} = \frac{1}{3} \times S_{AGE} \times AH = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{1}{3}$

小さい方の立体はA-GEH, B-FEG, C-DEHを足したものではなく、もっと複雑な形をしています。

ここでは、点Bから平面GEHへの距離を求め、三角錐B-GEHを考えることにします。

平面GEHで三角柱を切断したとき、点A, B, Cから平面GEHへの距離をそれぞれa, b, cとすると、求める体積は、(1/6)(a+b+c)Sとなります。

a=0, b=2/3, c=1/3

小さい方の立体は、三角錐台のような形なので、相似な三角形の性質を利用して体積を求める。

三角形ABCと三角形GEHが相似ではないので、この方法は使えません。

点E, D, Fから平面GEHまでの距離がわかれば体積が計算できそうですが、距離を計算するのは難しいです。

求める立体の体積は、もとの三角柱から他の立体を取り除いたものと考え、積分を使って体積を求める。

三角柱の底面をxy平面に、高さをz軸にとる。

平面GEHの方程式を求める。

G(0,0,1), E(1,0,0), H(0,1,2)を通る平面の方程式

$ax + by + cz + d = 0$

$c + d = 0$

$a + d = 0$

$2c + b + d = 0$

$c = -d$

$a = -d$

$-2d + b + d = 0$

$b = d$

$-dx + dy -dz + d = 0$

$x - y + z = 1$

したがって、平面の方程式は、$x - y + z = 1$となる。

この平面で切断される小さい方の立体の体積は、

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} (1 - x + y) dy dx = \int_{0}^{1} [y - xy + \frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} dx = \int_{0}^{1} (1-x - x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2}) dx = \int_{0}^{1} (1-x -x +x^2 + \frac{1-2x+x^2}{2}) dx = \int_{0}^{1} (1-2x+x^2 + \frac{1}{2} - x + \frac{x^2}{2}) dx = \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - 3x + \frac{3}{2}x^2) dx = [\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3]_{0}^{1} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$