曲面 $z = x^3y^2$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲面 $z = x^3y^2$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、一般的に次の形で表されます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、

- $(x_0, y_0, z_0)$ は接点

- $f_x(x, y)$ は $z = f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分

- $f_y(x, y)$ は $z = f(x, y)$ の $y$ に関する偏微分

まず、$z = x^3y^2$ を $x$ で偏微分します。

$f_x(x, y) = 3x^2y^2$

次に、$z = x^3y^2$ を $y$ で偏微分します。

$f_y(x, y) = 2x^3y$

接点 $(1, 1, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 1) = 3(1)^2(1)^2 = 3$

$f_y(1, 1) = 2(1)^3(1) = 2$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 1 = 3(x - 1) + 2(y - 1)$

$z - 1 = 3x - 3 + 2y - 2$

$z = 3x + 2y - 3 - 2 + 1$

$z = 3x + 2y - 4$

3. 最終的な答え

$z = 3x + 2y - 4$

選択肢 [1] が正解です。