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領域 $D$ を $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ で定義するとき、重積分 $\iint_D 3x^2 y \, dxdy$ の値を求めよ。

解析学重積分積分二重積分
2025/4/5

1. 問題の内容

領域 DD を 0≤x≤10 \le x \le 1 かつ 0≤y≤10 \le y \le 1 で定義するとき、重積分 ∬D3x2y dxdy\iint_D 3x^2 y \, dxdy の値を求めよ。

2. 解き方の手順

重積分を計算するために、逐次積分を行います。まず xx について積分し、次に yy について積分します。
まず、xx についての積分を計算します。
∫013x2y dx=y∫013x2 dx=y[x3]01=y(13−03)=y\int_{0}^{1} 3x^2 y \, dx = y \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx = y[x^3]_0^1 = y(1^3 - 0^3) = y
次に、yy についての積分を計算します。
∫01y dy=[12y2]01=12(12−02)=12\int_{0}^{1} y \, dy = [\frac{1}{2}y^2]_0^1 = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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