$ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} $ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項 $a = 1$、公比 $r = 2x$ の無限等比級数です。

無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が1より小さいことです。つまり、$|r| < 1$ である必要があります。

問題文より $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ なので、 $-1 < 2x < 1$ となり、$|2x| < 1$ が成り立ちます。したがって、この無限等比級数は収束します。

無限等比級数の和 $S$ は、$S = \frac{a}{1-r}$ で与えられます。この問題の場合、$a = 1$、$r = 2x$ なので、

$$S = \frac{1}{1 - 2x}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$