微分方程式 $y' = y \sin x$ を解き、その解 $y$ を選択肢の中から選びなさい。ここで、$C$は任意定数です。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = y \sin x$ を解き、その解 $y$ を選択肢の中から選びなさい。ここで、$C$は任意定数です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は変数分離形です。

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = y \sin x$

次に、変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = \sin x \, dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \sin x \, dx$

$\ln|y| = -\cos x + C_1$ （$C_1$は積分定数）

絶対値をはずすために、$e$ の指数をとります。

$|y| = e^{-\cos x + C_1} = e^{-\cos x} e^{C_1}$

$y = \pm e^{C_1} e^{-\cos x}$

$C = \pm e^{C_1}$ とおけば、$C$は任意定数であるため、

$y = C e^{-\cos x}$

したがって、選択肢の中からこれに一致するものを探します。

3. 最終的な答え

[5] $Ce^{-\cos x}$