与えられた2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $-k \le x \le k$ における $f(x)$ の最大値が4であるとき、$k$ の値を求める（ただし、$k$ は正の定数）。 (3) $t \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値が0であるとき、$t$ のとり得る値の範囲を求める。さらに、このとき $f(x)$ の最大値が6となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $-k \le x \le k$ における $f(x)$ の最大値が4であるとき、$k$ の値を求める（ただし、$k$ は正の定数）。

(3) $t \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値が0であるとき、$t$ のとり得る値の範囲を求める。さらに、このとき $f(x)$ の最大値が6となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 2(x^2 - 2x) + 2 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = 2(x-1)^2 - 2 + 2 = 2(x-1)^2$.

したがって、$f(x)$ は $x=1$ のとき最小値0をとる。

(2)

$f(x) = 2(x-1)^2$ であるから、軸は $x=1$ である。

区間 $-k \le x \le k$ における $f(x)$ の最大値を考える。

$k$ は正の定数なので、$k > 0$ である。

場合分けをする。

(i) $0 < k \le 1$ のとき

区間 $-k \le x \le k$ は軸 $x=1$ を含まないので、$f(x)$ は $x=-k$ で最大となる。

$f(-k) = 2(-k-1)^2 = 2(k+1)^2 = 4$

$(k+1)^2 = 2$

$k+1 = \pm \sqrt{2}$

$k = -1 \pm \sqrt{2}$

$k > 0$ より、$k = \sqrt{2} - 1$. これは $0 < k \le 1$ を満たす。

(ii) $k > 1$ のとき

区間 $-k \le x \le k$ は軸 $x=1$ を含むので、$f(x)$ は $x=-k$ で最大となる。

$f(-k) = 2(-k-1)^2 = 2(k+1)^2 = 4$

$(k+1)^2 = 2$

$k+1 = \pm \sqrt{2}$

$k = -1 \pm \sqrt{2}$

$k > 0$ より、$k = \sqrt{2} - 1$. これは $k > 1$ を満たさない。

したがって、$k = \sqrt{2} - 1$.

(3)

$t \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値が0となるのは、区間 $t \le x \le t+2$ に $x=1$ が含まれるときである。

すなわち、$t \le 1 \le t+2$ である。

$t \le 1$ かつ $1 \le t+2$

$t \le 1$ かつ $t \ge -1$

$-1 \le t \le 1$

このとき、$t \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最大値が6となるような $t$ の値を求める。

$f(t) = 2(t-1)^2$ または $f(t+2) = 2(t+2-1)^2 = 2(t+1)^2$ のどちらかが6となる。

(i) $2(t-1)^2 = 6$ のとき

$(t-1)^2 = 3$

$t-1 = \pm \sqrt{3}$

$t = 1 \pm \sqrt{3}$

$-1 \le t \le 1$ より、$t = 1 - \sqrt{3}$

(ii) $2(t+1)^2 = 6$ のとき

$(t+1)^2 = 3$

$t+1 = \pm \sqrt{3}$

$t = -1 \pm \sqrt{3}$

$-1 \le t \le 1$ より、$t = -1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 0, そのときの $x$: 1

(2) $k = \sqrt{2} - 1$

(3) $t$ の範囲: $-1 \le t \le 1$, $f(x)$ の最大値が6となる $t$ の値: $t = 1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}$