三角形 ABC が与えられており、辺の長さが $AB = t$, $BC = \sqrt{2t+1}$, $AC = t-1$ です。辺 AB の中点を M とします。三角形 ABC の外接円の半径を R, 内接円の半径を r, 三角形 ABC の面積を S とします。 (1) $t=3$ のとき、$\cos{\angle BAC}$, $R$, $S$ を求めます。 (2) $t=4$ のとき、$\sin{\angle BAC} : \sin{\angle ACB}$, $\cos{\angle BAC} : \cos{\angle ACB}$, $MC$, $S$, $r$ を求めます。 (3) $\angle BAC = 90^\circ$ のとき、$t$, $S$ を求めます。また、三角形 AMC の内接円の半径を $r_1$ とすると、$r_1 : r$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形 ABC が与えられており、辺の長さが $AB = t$, $BC = \sqrt{2t+1}$, $AC = t-1$ です。辺 AB の中点を M とします。三角形 ABC の外接円の半径を R, 内接円の半径を r, 三角形 ABC の面積を S とします。

(1) $t=3$ のとき、$\cos{\angle BAC}$, $R$, $S$ を求めます。

(2) $t=4$ のとき、$\sin{\angle BAC} : \sin{\angle ACB}$, $\cos{\angle BAC} : \cos{\angle ACB}$, $MC$, $S$, $r$ を求めます。

(3) $\angle BAC = 90^\circ$ のとき、$t$, $S$ を求めます。また、三角形 AMC の内接円の半径を $r_1$ とすると、$r_1 : r$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t=3$ のとき、$AB=3$, $BC=\sqrt{2(3)+1}=\sqrt{7}$, $AC=3-1=2$。余弦定理より、

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{3^2+2^2-7}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9+4-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。

正弦定理より、$R = \frac{BC}{2\sin{\angle BAC}}$。$\sin{\angle BAC} = \sqrt{1-\cos^2{\angle BAC}} = \sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$R = \frac{\sqrt{7}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$。

三角形 ABC の面積 $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

(2) $t=4$ のとき、$AB=4$, $BC=\sqrt{2(4)+1}=\sqrt{9}=3$, $AC=4-1=3$。

正弦定理より、$\frac{\sin{\angle BAC}}{BC} = \frac{\sin{\angle ACB}}{AB}$。

$\frac{\sin{\angle BAC}}{3} = \frac{\sin{\angle ACB}}{4}$。

$\sin{\angle BAC} : \sin{\angle ACB} = 3:4$。

余弦定理より、$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{4^2+3^2-3^2}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$。

$\cos{\angle ACB} = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC \cdot BC} = \frac{3^2+3^2-4^2}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{9+9-16}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$。

$\cos{\angle BAC} : \cos{\angle ACB} = \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = 6:1$。

$MC = \sqrt{\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(3^2)+2(3^2)-4^2}{4}} = \sqrt{\frac{18+18-16}{4}} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$。

ヘロンの公式より、$s = \frac{4+3+3}{2} = 5$。

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-3)(5-3)} = \sqrt{5(1)(2)(2)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

$r = \frac{S}{s} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

(3) $\angle BAC = 90^\circ$ のとき、$BC^2 = AB^2+AC^2$。

$(\sqrt{2t+1})^2 = t^2+(t-1)^2$。

$2t+1 = t^2+t^2-2t+1$。

$2t+1 = 2t^2-2t+1$。

$2t^2-4t = 0$。

$2t(t-2) = 0$。

$t=0$ または $t=2$。$t>1$ より、$t=2$。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2-1) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$。

$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$。

三角形 AMC は二等辺三角形で、$AM = AC = 1$, $MC = \sqrt{5}$。(2)より。

三角形 AMC の内接円の半径 $r_1 = \frac{2 \times \text{Area}}{AM+AC+MC} = \frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1)}{1+1+\sqrt{5}} = \frac{1}{2+\sqrt{5}} = \frac{2-\sqrt{5}}{4-5} = \sqrt{5}-2$.

$r=\frac{S}{s} = \frac{1}{2} (2+1+\sqrt{5}) = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

$r_1:r = (\sqrt{5}-2) : \frac{3+\sqrt{5}}{2} = (2\sqrt{5}-4) : (3+\sqrt{5})$.

1. 1

2. 2

3. $\sqrt{21}$

4. 3

5. $\sqrt{3}$

6. 3

7. 2

8. 2

9. 3

1

0. 4

1

1. 6

1

2. 1

1

3. $\sqrt{5}$

1

4. 2

1

5. $\sqrt{5}$

1

6. 2

1

7. $\sqrt{5}$

1

8. 5

1

9. 2

2

0. 1

2

1. 5

2

2. 5

3. 最終的な答え

1: 1

2: 2

3: $\sqrt{21}$

4: 3

5: $\sqrt{3}$

6: 3

7: 2

8: 2

9: 3

10: 4

11: 6

12: 1

13: $\sqrt{5}$

14: 2

15: $\sqrt{5}$

16: 2

17: $\sqrt{5}$

18: 5

19: 2

20: 1

21: 5

22: 5