関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分する。

解析学微分合成関数の微分導関数

2025/7/31

1. 問題の内容

関数

y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}

を微分する。

2. 解き方の手順

まず、

y

を

y = (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}

と書き換えます。

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を適用します。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

ここで、

u = x^3 + 3x^2 + 1

とおくと、

y = u^{-1}

となります。

\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}

\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x

したがって、

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 6x) = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}

3. 最終的な答え

\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}

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