関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分しなさい。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。積の微分公式は以下の通りです。

$(uv)' = u'v + uv'$

$u = \sin x$ と $v = \cos 2x$ とおきます。

すると、$u' = \cos x$ となり、$v' = -2\sin 2x$ となります。

したがって、$y'$ は以下のように計算できます。

$y' = (\sin x \cos 2x)' = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'$

$y' = \cos x \cos 2x + \sin x (-2\sin 2x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$

ここで、$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ であることを利用すると、

$y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$

$y' = \cos x (\cos 2x - 4\sin^2 x)$

さらに、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ であることを利用すると、

$y' = \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x - 4\sin^2 x)$

$y' = \cos x (\cos^2 x - 5\sin^2 x)$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ であるから、

$y' = \cos x (1 - \sin^2 x - 5\sin^2 x)$

$y' = \cos x (1 - 6\sin^2 x)$

3. 最終的な答え

$\cos x(\cos 2x - 4\sin^2 x) = \cos x(\cos^2 x - 5\sin^2 x) = \cos x(1-6\sin^2 x)$

したがって、

$y' = \cos x(1-6\sin^2 x)$

あるいは

$y' = \cos x \cos 2x - 4 \sin^2 x \cos x$

$y' = \cos x(\cos 2x - 4\sin^2 x)$

$y' = \cos x(\cos^2 x - 5\sin^2 x)$

最終的な答え：$\cos x(1 - 6\sin^2 x)$