関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sin x \cos x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。三角関数の倍角の公式 $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

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y = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x

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となります。

次に、$y = 2 \csc 2x$ を微分します。$\csc u$ の微分は $-\csc u \cot u$ なので、合成関数の微分法を用いると、

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y' = 2 (-\csc 2x \cot 2x) \cdot (2x)' = -2 \csc 2x \cot 2x \cdot 2 = -4 \csc 2x \cot 2x

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ここで、$\csc 2x = \frac{1}{\sin 2x}$ かつ $\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ なので、

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y' = -4 \cdot \frac{1}{\sin 2x} \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = -4 \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x}

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となります。

3. 最終的な答え

$y' = - \frac{4 \cos 2x}{\sin^2 2x}$

選択肢5が正解です。