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$y = \cos^3 2x$ を微分した $y'$ を求め、選択肢から正しいものを選びます。

解析学微分合成関数三角関数導関数
2025/7/31

1. 問題の内容

y=cos⁡32xy = \cos^3 2x を微分した y′y' を求め、選択肢から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用います。
y=(cos⁡2x)3y = (\cos 2x)^3 と見ると、
y′=3(cos⁡2x)2⋅(cos⁡2x)′y' = 3 (\cos 2x)^2 \cdot (\cos 2x)'
となります。
次に、(cos⁡2x)′(\cos 2x)' を計算します。これも合成関数の微分法を用います。
(cos⁡2x)′=−sin⁡2x⋅(2x)′=−sin⁡2x⋅2=−2sin⁡2x(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x
したがって、
y′=3(cos⁡2x)2⋅(−2sin⁡2x)=−6cos⁡22xsin⁡2xy' = 3 (\cos 2x)^2 \cdot (-2\sin 2x) = -6 \cos^2 2x \sin 2x

3. 最終的な答え

y′=−6cos⁡22xsin⁡2xy' = -6 \cos^2 2x \sin 2x
選択肢の2が正解です。

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