関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用します。積の微分公式は以下の通りです。

$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = x$、$v = \cos 2x$ とします。

すると、$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$ となります。

次に、$v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x)$ を計算します。

$\cos$ の微分は $-\sin$ であることと、合成関数の微分を用いると、

$\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2 \sin 2x$

したがって、$v' = -2 \sin 2x$ となります。

これらの結果を積の微分公式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (x \cos 2x)' = (x)' \cos 2x + x (\cos 2x)' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x) = \cos 2x - 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos 2x - 2x \sin 2x$