関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分しなさい。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が、

$$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x-1$ および $v(x) = x^3+1$ とします。

それぞれの導関数は、

$u'(x) = 1$

$v'(x) = 3x^2$

となります。

したがって、

$$y' = \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}$$

$$y' = \frac{x^3+1 - (3x^3-3x^2)}{(x^3+1)^2}$$

$$y' = \frac{x^3+1 - 3x^3+3x^2}{(x^3+1)^2}$$

$$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2}$$

分母は $(x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)$ と因数分解できることを用いると

$$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}$$

3. 最終的な答え

$$y' = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x^3+1)^2} = \frac{-2x^3+3x^2+1}{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}$$