関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は分数の形をしているので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = x^2 + 1$ 、$v = x^2 - 1$ とおきます。

まず、$u$ と $v$ をそれぞれ微分します。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

次に、商の微分公式に $u$, $v$, $u'$, $v'$ を代入します。

$y' = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$