三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle ACI = 21^\circ$のとき、$\angle P$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle ACI = 21^\circ$のとき、$\angle P$を求めよ。

2. 解き方の手順

点Iは三角形ABCの内心なので、BIは$\angle ABC$の二等分線、CIは$\angle ACB$の二等分線である。

$\angle ACB = 2 \times \angle ACI = 2 \times 21^\circ = 42^\circ$

三角形の内角の和は180°なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 42^\circ = 68^\circ$

$\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 68^\circ = 34^\circ$

三角形IBCの内角の和は180°なので、$\angle BIC = 180^\circ - \angle IBC - \angle ICB = 180^\circ - 34^\circ - 21^\circ = 125^\circ$

点Iは$\triangle ABC$の内心なので、$AP$は$\angle BAC$の二等分線となるため、$\angle BAI = \angle CAI = 70^\circ / 2 = 35^\circ$。

$\angle P = \angle IBC + \angle ICB = \frac{1}{2} \angle ABC + \angle ACI = 34^\circ + 21^\circ = 55^\circ$.

3. 最終的な答え

$\angle P = 55^\circ$