関数 $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。この問題では $u = \cos x$ 、 $v = 1 + \sin x$ となります。

それぞれの微分は、

$u' = -\sin x$

$v' = \cos x$

したがって、

$y' = \frac{(-\sin x)(1 + \sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2}$

$y' = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2}$

$y' = \frac{-\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので、

$y' = \frac{-\sin x - 1}{(1 + \sin x)^2}$

$y' = \frac{-(1 + \sin x)}{(1 + \sin x)^2}$

$y' = -\frac{1}{1 + \sin x}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{1 + \sin x}$

選択肢の3が正解です。